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　　今天（2013年1月13日）上午看了《松本行弘的程序世界》这本书的第九章“整数和浮点小数”里面谈到了“RSA加密算法”，而且还给出了一个小小的编程实例，真是应了书上的那句话：“如果不用考虑效率，程序简单得有点让人失望”！以前也接触过RSA加密算法，感觉这个东西太神秘了，是数学家的事，和D瓜哥无关。但是，看了那个实现，让D瓜哥感觉这个东西实在太简单了，忍不住想写一篇文章分享一下。

　　学过算法的朋友都知道，计算机中的算法其实就是数学运算。所以，再讲解RSA加密算法之前，有必要了解一下一些必备的数学知识。我们就从数学知识开始讲解。

必备数学知识

　　RSA加密算法中，只用到素数、互质数、指数运算、模运算等几个简单的数学知识。所以，我们也需要了解这几个概念即可。

素数

　　素数又称质数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。这个概念，我们在上初中，甚至小学的时候都学过了，这里就不再过多解释了。

互质数

　　百度百科上的解释是：公因数只有1的两个数，叫做互质数。；维基百科上的解释是：互质，又称互素。若N个整数的最大公因子是1，则称这N个整数互质。

　　常见的互质数判断方法主要有以下几种：

1. 两个不同的质数一定是互质数。例如，2与7、13与19。
2. 一个质数，另一个不为它的倍数，这两个数为互质数。例如，3与10、5与 26。
3. 相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。
4. 相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。
5. 较大数是质数的两个数是互质数。如97与88。
6. 小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。例如 7和 16。
7. 2和任何奇数是互质数。例如2和87。
8. 1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。如1和9908。
9. 辗转相除法。

指数运算

　　指数运算又称乘方计算，计算结果称为幂。n^m指将n自乘m次。把n^m看作乘方的结果，叫做”n的m次幂”或”n的m次方”。其中，n称为“底数”，m称为“指数”。

模运算

　　模运算即求余运算。“模”是“Mod”的音译。和模运算紧密相关的一个概念是“同余”。数学上，当两个整数除以同一个正整数，若得相同余数，则二整数同余。

　　两个整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作: a ≡ b (mod m)；读作：a同余于b模m，或者，a与b关于模m同余。例如：26 ≡ 14 (mod 12)。

RSA加密算法

RSA加密算法简史

　　RSA是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。

公钥与密钥的产生

　　假设Alice想要通过一个不可靠的媒体接收Bob的一条私人讯息。她可以用以下的方式来产生一个公钥和一个私钥：

1. 随意选择两个大的质数p和q，p不等于q，计算N=pq。
2. 根据欧拉函数，求得r = (p-1)(q-1)
3. 选择一个小于 r 的整数 e，求得 e 关于模 r 的模反元素，命名为d。（模反元素存在，当且仅当e与r互质）
4. 将 p 和 q 的记录销毁。

(N,e)是公钥，(N,d)是私钥。Alice将她的公钥(N,e)传给Bob，而将她的私钥(N,d)藏起来。

加密消息

　　假设Bob想给Alice送一个消息m，他知道Alice产生的N和e。他使用起先与Alice约好的格式将m转换为一个小于N的整数n，比如他可以将每一个字转换为这个字的Unicode码，然后将这些数字连在一起组成一个数字。假如他的信息非常长的话，他可以将这个信息分为几段，然后将每一段转换为n。用下面这个公式他可以将n加密为c：

　　n^e ≡ c (mod N)

计算c并不复杂。Bob算出c后就可以将它传递给Alice。

解密消息

Alice得到Bob的消息c后就可以利用她的密钥d来解码。她可以用以下这个公式来将c转换为n：

　　c^d ≡ n (mod N)

得到n后，她可以将原来的信息m重新复原。

解码的原理是：

　　c^d ≡ n ^e·d(mod N)

以及ed ≡ 1 (mod p-1)和ed ≡ 1 (mod q-1)。由费马小定理可证明（因为p和q是质数）

　　n ^e·d ≡ n (mod p) 　　和 　n ^e·d ≡ n (mod q)

这说明（因为p和q是不同的质数，所以p和q互质）

　　n ^e·d ≡ n (mod pq)

签名消息

　　RSA也可以用来为一个消息署名。假如甲想给乙传递一个署名的消息的话，那么她可以为她的消息计算一个散列值(Message digest)，然后用她的密钥(private key)加密这个散列值并将这个“署名”加在消息的后面。这个消息只有用她的公钥才能被解密。乙获得这个消息后可以用甲的公钥解密这个散列值，然后将这个数据与他自己为这个消息计算的散列值相比较。假如两者相符的话，那么他就可以知道发信人持有甲的密钥，以及这个消息在传播路径上没有被篡改过。

编程实践

　　下面，开始我们的重点环节：编程实践。在开始编程前，我们通过计算，来确定公钥和密钥。

计算公钥和密钥

1. 假设p = 3、q = 11（p，q都是素数即可。），则N = pq = 33；
2. r = (p-1)(q-1) = (3-1)(11-1) = 20；
3. 根据模反元素的计算公式，我们可以得出，e·d ≡ 1 (mod 20),即e·d = 20n+1 (n为正整数)；我们假设n=1，则e·d = 21。e、d为正整数，并且e与r互质，则e = 3，d = 7。（两个数交换一下也可以。）

　　到这里，公钥和密钥已经确定。公钥为(N, e) = (33, 3)，密钥为(N, d) = (33, 7)。

编程实现

　　下面我们使用Java来实现一下加密和解密的过程。具体代码如下：

package com.diguage.security;

/**
 * RSA 加密算法及其测试
 * 
 * @author D瓜哥，http://www.diguage.com/
 * 
 */
public class RSA {

	/**
	 * RSA 加密算法——加密、解密都用这个函数
	 * 
	 * @param bigNum
	 * @param key
	 * @param msg
	 * @return
	 */
	public static long[] rsa(int bigNum, int key, long[] msg) {
		long[] result = new long[msg.length];

		for (int i = 0; i < msg.length; i++) {
			result[i] = Math.round(Math.pow(msg[i], key)) % bigNum;
		}

		return result;
	}

	/**
	 * 将数组打印到控制台
	 * 
	 * @param msg
	 */
	public static void printArray(long[] msg) {
		StringBuilder sb = new StringBuilder(16);
		sb.append("[");
		for (long l : msg) {
			sb.append(l + ",\t");
		}
		sb.delete(sb.lastIndexOf(","), //
				sb.lastIndexOf("\t") + 2).append("]");
		System.out.println(sb.toString());
	}

	/**
	 * main函数，即测试方法
	 * 
	 * @param args
	 */
	public static void main(String[] args) {
		int bigNum = 33;
		int e = 3;
		int d = 7;

		long[] orig = { 7L, 13L, 17L, 24L }; // 明文
		System.out.print("明文:\t");
		printArray(orig);
		long[] encode = rsa(bigNum, e, orig); // 密文
		System.out.print("密文:\t");
		printArray(encode);
		long[] decode = rsa(bigNum, d, encode); // 解密
		System.out.print("解密后:\t");
		printArray(decode);
	}
}

　　输出结果如下：

明文:	[7,	13,	17,	24]
密文:	[13,	19,	29,	30]
解密后:	[7,	13,	17,	24]

　　从第一行和第三行来看，我们的RSA加密算法是完全可行的。

RSA加密算法的安全性

　　当p和q是一个大素数的时候，从它们的积pq去分解因子p和q，这是一个公认的数学难题。然而，虽然RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。

　　1994年彼得·秀尔（Peter Shor）证明一台量子计算机可以在多项式时间内进行因数分解。假如量子计算机有朝一日可以成为一种可行的技术的话，那么秀尔的算法可以淘汰RSA和相关的衍生算法。（即依赖于分解大整数困难性的加密算法）

　　另外，假如N的长度小于或等于256位，那么用一台个人电脑在几个小时内就可以分解它的因子了。1999年，数百台电脑合作分解了一个512位长的N。1997年后开发的系统，用户应使用1024位密钥，证书认证机构应用2048位或以上。

RSA加密算法的缺点

　　虽然RSA加密算法作为目前最优秀的公钥方案之一，在发表三十多年的时间里，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受。但是，也不是说RSA没有任何缺点。由于没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度的等价性。所以，RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何。在实践上，RSA也有一些缺点：

1. 产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密；
2. 分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，。

总结

　　早在D瓜哥上大学的时候就听说了RSA加密算法。当时，想着世界知名的加密算法应该很复杂，就一直没有深入地了解过。但是，当瓜哥看到松本行弘讲解RSA加密算法时，惊讶地发现RSA加密算法竟然如此简单，惊讶到简直不敢相信，用笔演算过一遍之后，才发现确实如此。立马就有写一篇文章的冲动。后来，查资料，更深入地了解了这个算法。然后就有了这篇文章。

　　从这个过程来看，其实很多时候很多问题很简单，只是我们被自己吓到了。也许，我们只需要拿出勇气试一试，我们就能成功。用乔丹的一句话结束文章：

I can accept failure, but I can’t accept not trying.

 

参考资料

1. 百度百科中对“素数”的介绍
2. 维基百科中对”素数”的介绍
3. 百度百科中对“互质数”的介绍
4. 维基百科中对“互质”的介绍
5. 维基百科中对“RSA”的解释
6. 维基百科中对“幂”的介绍
7. 百度百科对“模运算”的介绍
8. 危机百科中对“同余”的介绍
9. RSA加密算法原理